線形代数例

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

ステップ 1

${(4 - 3 i)}^{2}$ を $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ に書き換えます。

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

ステップ 3.1.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

ステップ 3.1.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

ステップ 3.1.4

$- 3 i (- 3 i)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.4.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

ステップ 3.1.4.2

$i$ を $1$ 乗します。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

ステップ 3.1.4.3

$i$ を $1$ 乗します。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

ステップ 3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

ステップ 3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

ステップ 3.1.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

ステップ 3.1.6

$9$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

ステップ 3.2

$16$ から $9$ を引きます。

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

ステップ 3.3

$- 12 i$ から $12 i$ を引きます。

$- 5 i (7 - 24 i)$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

ステップ 5

$7$ に $- 5$ をかけます。

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

ステップ 6

$- 5 i (- 24 i)$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$- 24$ に $- 5$ をかけます。

$- 35 i + 120 i i$

ステップ 6.2

$i$ を $1$ 乗します。

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

ステップ 6.3

$i$ を $1$ 乗します。

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

ステップ 6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 35 i + 120 i^{2}$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

ステップ 7.2

$120$ に $- 1$ をかけます。

$- 35 i - 120$

ステップ 8

$- 35 i$ と $- 120$ を並べ替えます。

$- 120 - 35 i$

ステップ 9

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 10

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 11

$a = - 120$ と $b = - 35$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

ステップ 12

$| z |$ を求めます。

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ステップ 12.1

$- 35$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

ステップ 12.2

$- 120$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

ステップ 12.3

$1225$ と $14400$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{15625}$

ステップ 12.4

$15625$ を $125^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

ステップ 12.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 125$

ステップ 13

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

ステップ 14

$\frac{- 35}{- 120}$ の逆正接が第三象限で角を作るので、角の値は $3.42538676$ です。

$θ = 3.42538676$

ステップ 15

$θ = 3.42538676$ と $| z | = 125$ の値を代入します。

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$

線形代数 例

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